2015年6月4日 星期四

ProjectEuler #369


我用很可怕的 brute force 算了半小時,結束。

太可怕了。

2015年6月3日 星期三

詩經小雅北山之什北山(人生對比)


或燕燕居息、或盡瘁事國。
或息偃在床、或不已于行。
或不知叫號、或慘慘劬勞。
或棲遲偃仰、或王事鞅掌。
或湛樂飲酒、或慘慘畏咎。
或出入風議、或靡事不為。

2015年6月2日 星期二

ProjectEuler #442


熟悉的題目,類似 #368 但沒有那麼困難,求個數比求和還要簡單。

暴力法時間複雜度是 O(n),這個足以算出 small dataset 檢查演算法對不對。

2015年5月25日 星期一

2015年5月14日 星期四

Totient Summatory Function


Reference: http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html



例子:[0, 1] 之間所有最簡分數 p/q 滿足 q <= N 的個數 = Phi[N]



定理:Phi[N] ~ O(N^2)

也就是說,如果要直接計算 Phi[N],

最笨的方法就是 O(N^2) 不能比這個再笨了。



枚舉:枚舉所有最簡分數 p/q 可以利用 Stern-Brocot Tree,時間複雜度依然是 O(N^2)。

舉例來說 ProjectEuler #198,如果只是單純枚舉所有最簡分數 p/q < 1/100,

時間複雜度永遠是 O(N^2),當 N = 10^8 這樣是行不通的。

(但比枚舉所有分數再檢查是否為最簡分數聰明得多)



話說回來,有沒有聰明招式可以計算 Phi[N]?

Phi[N] = 1/2 * \sum_{d = 1 to N} MobiusFunction[d] Floor[N/d] (1 + Floor[N/d])

這樣只要 O(N) 的計算量就可以算完,似乎還可以再改進。



的確,如果利用 Mobius inversion formula,

Phi[N] = N(N+1)/2 - \sum_{k = 2 to N} Phi[Floor[N/k]]

因為 Floor[N/k] 有很好的性質,piecewise constant,

當 k >= Sqrt[N] 我們可以計算一大票 Phi[Floor[N/k]],

例如 k in (N/2, N],所有的 Phi[Floor[N/k]] = Phi[1],

k in (N/3, N/2],所有的 Phi[Floor[N/k]] = Phi[2],

k in (N/4, N/3],所有的 Phi[Floor[N/k]] = Phi[3],以此類推。

這樣的時間複雜度 O(N^{3/4}),比 O(N) 還要再快些。

2015年5月12日 星期二

ProjectEuler #423


以前做法時間複雜度太高,不切實際,

必須思考好的演算法。



Prime counting function: http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

數論重要定理:pi(n) ~ n/log(n)

如果可以找到 O(n pi(n)) = O(n^2 / log(n)) 的演算法,

接著再來改進演算法就可以了(廢話)。



此外,Sieve of Eratosthenes 的時間複雜度是 O(n log log(n)),

不過 ProjectEuler 許多題目需要質數表,對某些解題者來說時間複雜度是 O(1)。


2015年4月15日 星期三

Create simple mvn project

1. mvn archetype:generate -DgroupId=com.mycompany.app -DartifactId=my-app -DarchetypeArtifactId=maven-archetype-quickstart -DinteractiveMode=false

2. mvn package

3. java -cp target/my-app-1.0-SNAPSHOT.jar com.mycompany.app.App